Die Verdopplung des Würfels
ein klassisches Problem
Das "delische" Problem stammt aus der griechischen Antike.  Es besteht darin, zu einem gegebenen Würfel einen solchen zu konstruieren, der das doppelte Volumen hat.  Als Konstruktionswerkzeuge waren zunächst nur Zirkel und Lineal zugelassen - das Lineal ohne Markierungen.  Die Lösung des Problems setzt, in heutiger Sprechweise, die Konstruktion der dritten Wurzel von 2 voraus.  Dies ist, wie wir heute wissen, mit den klassischen Werkzeugen unmöglich.
        Da sich das Problem einer "klassischen" Lösung entzog, gab es schon frühzeitig Versuche, andere Werkzeuge heranzuziehen.  Von Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene, ca. 276-194 v.Chr.) stammt die im folgenden dargestellte Konstruktion mit Hilfe von quadratischen Plättchen, die sich entlang einer Schiene verschieben lassen.
        Streng genommen löste Eratosthenes damit das Problem der mittleren Proportionalen:   Zu gegebenen Strecken a  und  b  konstruiere man Strecken x  und  y  mit der Eigenschaft:

a : x = x : y = y : b

Setzt man  b = 1, so ist die mittlere Proportionale y  gleich der dritten Wurzeln von  a  und das delische Problem ist gelöst.
        Der von Eratosthenes angegebene Mechanismus besteht aus einem Paar von parallelen Schienen, auf denen sich drei kongruente quadratische Plättchen verschieben lassen.  Die Strecke a  entspricht dem Abstand der Schienen; die Strecke  b  wird auf einem der Quadrate (genauer: auf dem am weitesten rechts liegenden Quadrat) markiert:   a = AA' ;  b = DD'.   Auf den quadratischen Plättchen sind die Diagonalen eingezeichnet.  Eine weitere Schiene ist im Punkt  A'  drehbar gelagert, ihre Richtung ist dadurch festgelegt, daß sie stets durch den Punkt  D'  läuft.   Dabei schneidet die Schiene die rechten vertikalen Seiten der anderen Quadrate in den Punkten  B'  und C'.
        Die Aufgabe besteht nun darin, die Plättchen so zu verschieben, daß die Punkte B' und C' auf den jeweiligen Diagonalen liegen.  Ist dies der Fall, so läßt sich durch wiederholte Anwendung des Strahlensatzes zeigen, daß die Strecken  BB'  und  CC'  die mittleren Proportionalen der Strecken  AA'  und  DD'  sind.
        Die Länge der Strecke  a  ist durch den Abstand der Schienen fest vorgegeben.  Für andere Werte von  a  und  b  lassen sich die mittleren Proportionalen dann mit Hilfe des Prinzips der Ähnlichkeit bestimmen.
        Der von Eratosthenes angegebene Mechanismus wird im folgenden mit Hilfe der Geometrie-Software Cinderella simuliert.  Dabei kann an allen groß gezeichneten Punkten "gezogen" werden.  Die Plättchen lassen sich verschieben, indem man sie jeweils an der linken unteren Ecke anfaßt.
        Beim Experimentieren stellt man fest, daß man die Plättchen in der Regel mehrfach ausrichten (nachjustieren) muß, bis sich eine visuell befriedigende Situation einstellt.
        Im Gegensatz zu dem von Eratosthenes konstruierten Mechanismus kann in dem weiter unten gegebenen "virtuellen"  Mechanismus auch der Abstand der Schienen modifiziert werden - ein Konstruktionsbaukasten für solche Mechanismen hätte Eratosthenes vermutlich gut gefallen.

Jochen Ziegenbalg

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Created with Cinderella

    Prof. Dr. Jochen Ziegenbalg
    Institut für Mathematik und Informatik
    Pädagogische Hochschule Karlsruhe

    Homepage:   http://www.ph-karlsruhe.de/wp/ziegenbalg/
    Adresse für electronic mail:  ziegenbalg@landau.ph-karlsruhe.de