Prof

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* Der Algorithmus als Thema (Motiv) von Kunstobjekten (z.B. Gregor Reish "Margarita Philosophica")
Spezialthema: die Faszination des Unmöglichen (z.B. Escher)
(kein Computer notwendig !)

•* Algorithmische Produkte als Kunstwerke „ex post“ (z.B. babylonische Keilschriften, Platinen-Layout, u.v.m.)

•* Der Algorithmus selbst als Kunstobjekt
Eleganz der Formulierung, bis hin zur "minimal art", besonders im Zusammenhang mit Rekursion

•* Algorithmen als Werkzeuge zur Herstellung von Kunstobjekten (oft in Verbindung mit dem Computer):
algorithmisch erzeugte Kunst, "Computer"-Kunst; vgl. F. Nake

•* Algorithmik als Prinzip des Designs
Diskretisierung, Digitalisierung, Randomisierung, Seriierung;
z.B. serielle Kunst, Aleatorik (kein Computer notwendig !)

•* Die algorithmische Methode in Kunst und Mathematik
          Prozessorientierung, Konstruktivismus / Konstruktivität, Elementarität, Paradigmatik
* Programmieren als Kunst: Zu den berühmtesten Informatik-Büchern im 20. Jahrhundert zählt
          Donald Knuths mehrbändiges Werk "The Art of Computer Programming"; Addison-Wesley
* Der Informatiker (bzw. Algorithmiker) als Künstler (z.B. Konrad Zuse)

Siehe auch: J. Ziegenbalg: Algorithmik als Schnittstelle zwischen Kunst und Mathematik; in unSICHTBARes. Kunst_Wissenschaft, Schriftenreihe des Zentrums für Kunst und Medien (ZKM), Hrsg. B. Könches und P. Weibel, Seite 174-198, Benteli Verlag, Bern 2005

P.S.: Ich habe das Thema "Algorithmen und Kunst" vor Jahren einmal vergleichsweise ausführlich in der Vorlesung "Informatik I" unter dem Stichwort "Beziehungshaltigkeit" (vgl. AHG, Seite 17) behandelt. Wenn das Thema nicht so ausführlich behandelt wird, wird in der Regel auch nicht in der Klausur danach gefragt.

Zwei Strecken sind genau dann kommensurabel, wenn ihr Verhältnis eine rationale Zahl ist. (KOM)

Definition: Kommensurabel zu sein heißt, mit einem gemeinsamen Maß messbar zu sein. Die Strecken s und t sind also kommensurable, wenn es eine Strecke (ein gemeinsames Mass) g gibt, die sowohl s als auch t misst ("ganzzahlig teilt"), d.h. wenn es eine Strecke g und natürliche Zahlen k und m gibt mit der Eigenschaft: s = k*g und t = m*g. Da es in diesem Zusammenhang also nur auf die Streckenlängen ankommt, wird bei der folgenden Argumentation kein Unterschied zwischen Strecken und Streckenlängen gemacht. Und weiterhin wird der Größenbereich der Streckenlängen mit dem der reellen Zahlen identifiziert.

(i) Die Strecken s und t seien kommensurabel. Dann gilt also (wie oben) s = k*g und t = m*g für geeignete g, k, m. Also gilt für das Verhältnis von s und t: s/t = (k*g)/(m*g) = k/m ist eine rationale Zahl.

(ii) Umkehrung: Sei nun also s/t eine rationale Zahl, also s/t = n/r für geeignete natürliche Zahlen n und r. Man definiere die Strecke g durch: g=s/n. Also ist s=g*n und die Strecke g misst die Strecke s.

(b) g misst t. Denn nach Voraussetzung im Umkehrungsfall (s.o.) gilt s/t = n/r, also t = s*(r/n) = g*n*(r/n) = g*r für
die natürliche Zahl r. D.h. g misst t.

Welche Realisierungsmöglichkeiten im Zusammenhang mit realer Computer-Software gibt es für das operative Prinzip?

Das operative Prinzip zu praktizieren heisst (vgl. E. Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts, Vieweg Verlag) im Sinne der Frage "was passiert, wenn ..." vorzugehen.

Jede Computernutzung, welche diese Arbeitsweise unterstützt, basiert damit (explizit oder implizit) auf dem operativen Prinzip. Dies sollte im Prinzip bei jeder gut geschriebenen Software der Fall sein.

Besonders günstig im Hinblick auf die Förderung operativer Arbeitsweisen sind:

* Jede (interaktive) Software, die zum Experimentieren und zur Exploration einlädt; insbesondere auch Simulations-Software. Die Realisierung dieser Zielstellungen (Experimentieren, Explorieren) ist bei selbstgeschriebenen Programmen (z.B. auch im Rahmen des Einsatzes von Computeralgebra Systemen) in besonders flexibler und zielgerichteter Weise möglich.

* Elektronische Tabellenkalkulations-Systeme (Englisch: electronic spread sheets; sie werden im Englischen oft auch als "what-if-software" bezeichnet): Dies sind hochgradig interaktiv und visuell angelegte Systeme zur Realisierung unterschiedlichster Kalkulationen im Bereiche des "bürgerlichen Rechnens" - einschliesslich der graphischen Umsetzung der Ergebnisse in einer Fülle von Diagramm-Formen (business graphic).

* Programme aus dem Bereiche der Dynamischen Geometrie: Diese Programme ermöglichen die üblichen Konstruktionen aus dem Bereiche der (synthetischen) Elementargeometrie. Für hochgradige Interaktivität und somit zur Realisierung des operativen Prinzips ist der üblicherweise vorhandene "Zug"-Modus (durch den sich die Lage von Basis-Punkten beliebig verändern lässt) hervorragend geeignet.

Was ist eine geeignete Veranschaulichung des Euklidischen Algorithmus, die über die der Division mit Rest hinausgeht?

Wie ist das Verfahren der ägyptischen Multiplikation unter Effizienzgesichtspunkten einzuschätzen?

Es unterliegt dem heuristischen Prinzip "Teile und Herrsche" und ist damit vergleichsweise effizient (vgl. AHG, Abschnitt 5.3, Seite 176 ff). Die Effizienzverbesserung im Vergleich zum Standardverfahren der Multiplikation (durch iterierte Addition) ist vergleichbar mit der des "schnellen Potenzierens" im Vergleich zum "Potenzieren nach dem Standardverfahren" (durch iterierte Multiplikation); vgl. AHG, Abschnitt 5.3. Das Ganze spielt sich nur eine arithmetische Stufe "tiefer" ab:

Das Prinzip von "Teile und Herrsche" ist aus der Perspektive von Effizienzbetrachtungen besonders günstig, weil durch dieses Prinzip (im Falle einer fortgesetzten Halbierung der "kritischen Masse") in der Regel die Funktion "Zweierlogarithmus der kritischen Masse M" günstig ins Spiel kommt. Man veranschauliche dies durch die Skizze des Funktionsgraphen des Zweierlogarithmus.

Welches Beispiel eignet sich, um zu zeigen, dass ... die gierige Strategie nicht immer eine optimale Lösung liefert?

Sehr geehrter Herr Ziegenbalg,
bei der Vorbereitung auf das Examen sind wir noch auf folgende Frage gestoßen:

Was wäre ein jeweils konkretes Beispiel für einen nicht-numerischen Algorithmus

Primarstufe - Beispiele:
* Generierung regelmässiger Muster (z.B. figurierte Zahlen)

     vgl. http://www.ph-karlsruhe.de/wp/ziegenbalg/materialien-homepage-jzbg/materials-in-english/FigurateNumbers.pdf
* erste (oft iterative bzw. rekursive) (oft geometrische) Kostruktionsverfahren
    (z.B. Polyominos)
* einfache Spiele rekursiven Charakters (z.B. NIM oder Mini-NIM)
* erste stochastische Grunderfahrungen (z.B. Sortieren, Klassifizieren, Ordnen von einfach struktrierten Daten oder Objekten)

Sekundarstufe I - Beispiele:
* geometrische Konstruktionen / Konstruktionstexte
* Spezialbeispiel: Wurzelschnecke von Theodorus
    vgl. http://de.wikipedia.org/wiki /Wurzelschnecke
* Iteration / Verkettung geometrischer Abbildungen (z.B. Spiegelungen)
* Wahlverfahren / Sitzverteilung nach Wahlen (D'Hondt, Hare-Niemeyer)

vgl. http://www.ph-karlsruhe.de/wp/ziegenbalg/materialien-homepage-jzbg/Aktuelles-Aushaenge/Sitzverteilung-Stellfeldt.pdf
* Gleichungslehre: systematisches Umstellen von Gleichungen
(z.B. zum Zwecke des Lösens)
sowie: Vertiefte Behandlung von Primarstufenthemen; z.B.:
* einfache Strategiespiele (z.B. NIM, TIC-TAC-TOE, ...)
* stochastische Grunderfahrungen (z.B. Sortieren, Klassifizieren, Ordnen)

Falls Ihnen das eine oder andere Stichwort nichts sagen sollte:
--> z.B. http://mathworld.wolfram.com/

AHG	J. Ziegenbalg: Algorithmen von Hammurapi bis Gödel
	Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996
	2., verbesserte Auflage
	Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Oktober 2007

Standardverfahren:	Multiplikation durch iterierte Addition	Potenzierung durch iterierte Multiplikation
Verfahren auf der Basis von "Teile und Herrsche":	ägyptische Multiplikation (vgl. AHG, Seite 181) (bzw. russische Bauernmultiplikation)	schnelles Potenzieren (vgl. AHG, Seite 179)

EZTH	J. Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie - Beispiele, Geschichte, Algorithmen
	Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2002